Question

10．已知实数 x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥a\\ x-y≤a\\ y≤a\end{array}\right.（{a＞0}）$，若z=x²+y²的最小值为 2，则 a的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：设z=x²+y²，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知原点到直线x+y=a的距离最小和直线x-y=a的距离最小
由点到直线的距离公式得d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
所以z=x²+y²的最小值为z=d²=$\frac{{a}^{2}}{2}$=2，
解得a=2，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式以及点与平面区域之间的关系是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划的基本方法．