Question

【题目】如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．

（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；

（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤．

试题解析：解：（1）由题意，可得AD＝12千米．

由题可知

解得．

（2）经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．

由于乙先到达D地，故＜2，即v＞8．

①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，

f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．

因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，

所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥．

②当5＜vt≤13，即＜t≤时，

f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)2(t－)2＋9．

因为v＞8，所以＜，(v－6)2＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，

所以(v－6)2(－)2＋9≤25，解得≤v≤．

③当13≤vt≤16，≤t≤时，

f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，

因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，

(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．

因为v＞8，所以 8＜v≤．