Question

已知3sin²α+2sin²β=1，3（sinα+cosα）²-2（sinβ+cosβ）²=1，则cos2（α+β）=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的余弦函数

专题：综合题,三角函数的求值

分析：利用3sin²α+2sin²β=1，可得3cos2α+2cos2β=3，利用3（sinα+cosα）²-2（sinβ+cosβ）²=1，可得3sin2α-2sin2β=0，从而可求得cos 2（α+β）．

解答： 解：∵3sin²α+2sin²β=1，
∴3cos2α+2cos2β=3，①
又3sin²α+2sin²β=1，
∵3（sinα+cosα）²-2（sinβ+cosβ）²=1，
∴3（1+sin2α）-2（1+sin2β）=1，
∴3sin2α-2sin2β=0，②
①²+②²：13-12（cos2αcos2β-sin2αsin2β）=9
∴cos 2（α+β）=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的化简求值，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．