Question

6．已知向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$满足|$\overrightarrow{p}$=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{q}$|=3，$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{4}$，如图，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{p}$+2$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{p}$-3$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），则|$\overrightarrow{AD}$|为|（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． $\frac{17}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{2}$

Answer 1

分析 首先由已知求出向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的数量积，进一步求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的模长以及它们的数量积，然后对|$\overrightarrow{AD}$|平方展开求值，再开方求模长．

解答 解：向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$满足|$\overrightarrow{p}$=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{q}$|=3，$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的夹角为$\frac{π}{4}$，
所以$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=2\sqrt{2}×3×cos\frac{π}{4}$=6，
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{p}$+2$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{p}$-3$\overrightarrow{q}$，所以$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{\overrightarrow{p}}^{2}+4{\overrightarrow{q}}^{2}+4\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}$=$\sqrt{68}$，
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{\overrightarrow{p}}^{2}+9{\overrightarrow{q}}^{2}-6\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}$=$\sqrt{53}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=${\overrightarrow{p}}^{2}-6{\overrightarrow{q}}^{2}-\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=-52；
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
则|$\overrightarrow{AD}$|²=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（68+53-104）=$\frac{17}{4}$；
所以|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
故选D．

点评 本题考查了平面向量数量积公式的运用；熟练掌握公式是关键．