Question

15．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂•a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4{a}_{n}}{n•{2}^{n}}$，求数列{b_n•b_n+1}的前2019项和T₂₀₁₉．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的性质可得a₁a₄=a₂•a₃，解得a₁=1，a₄=8，运用等比数列的通项公式解方程可得公比q，即可得到所求通项；
（2）求出b_n=$\frac{2}{n}$，b_n•b_n+1=$\frac{2}{n}$•$\frac{2}{n+1}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}是递增的等比数列，
且a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂•a₃=8，
解得a₁=1，a₄=8或a₁=8，a₄=1（舍去），
可得公比q满足q³=8，解得q=2，
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=$\frac{4{a}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{4•{2}^{n-1}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{2}{n}$，
b_n•b_n+1=$\frac{2}{n}$•$\frac{2}{n+1}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有前2019项和T₂₀₁₉=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2019}$-$\frac{1}{2010}$）
=4×（1-$\frac{1}{2010}$）=$\frac{4018}{1005}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．