Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中边长为1，过A′，B，C′三点的平面将正方体截去一个角，试画出剩余部分几何体的二视图，并求其体积和表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知能用出剩余部分几何体的三视图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出B′到平面A′BC′的距离，由此能求出剩余部分几何体的体积，由正方体的结构特征能求出剩余部分几何体的表面积．

解答： 解：由已知得剩余部分几何体的三视图如右图所示．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
以D为原点建立空间直角坐标系，
则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），B′（1，1，1），

BA′

=（0，-1，1），

BC′

=（-1，0，1），
设平面A′BC′的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA′ =-y+z=0 n • BC′ =-x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
又

BB′

=（0，0，1），
∴B′到平面A′BC′的距离：d=

| n • BB′ |

| n |

=

|1|

3

=

3

3

，
又S△A′BC′=

1

2

×

2

×

2

×sin60°=

3

2

剩余部分几何体的体积：
V=V正方体ABCD-A′B′C′D′-VB‘-A’BC‘
=1-

1

3

×d×S△A′BC′=1-

1

3

×

3

3

×

3

2

=

5

6

．
剩余部分几何体的表面积：
S=3S_{正方形ABCD}+3S△AA′B+S△A′BC′
=3×1²+3×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

2

×sin60°
=3+

3

2

+

3

2

=

9+ 3

2

．

点评：本题考查几何体的三视图的作法，考查几何体的体积的表面积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．