Question

【题目】已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为，

所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.

解：（Ⅰ）由于是椭圆的上顶点，由题意得，

又椭圆离心率为，即，

解得，，

又，

所以椭圆的标准方程。

（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，

联立，得

，

由题意，，

设，

则，

因为，所以是的中点．

即，得，

①

又，l的斜率为，

直线的方程为 ②

把①代入②可得：

所以直线恒过定点.

当直线斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线为轴，也过.

综上所述直线恒过点.