Question

3．已知四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：平面SDC⊥平面SBC；
（2）求直线SB与平面SDC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）取线段SB中点F，取SC中点E，连接DE，EF，AF，证明AF⊥平面SBC，利用AF∥DE，DE⊥平面SBC，即可证明：平面SDC⊥平面SBC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面SCD的一个法向量，利用向量方法求直线SB与平面SDC所成角的大小．

解答 （1）证明：取线段SB中点F，取SC中点E，连接DE，EF，AF，所以EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
由已知AD∥BC且AD=$\frac{1}{2}$BC，所以EF∥AD，且EF=AD，所以AF∥DE，且AF=DE，
因为SA=AB，所以AF⊥SB，
又SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥SA，
又BC⊥AB，且SA∩AB=A，
所以BC⊥面SAB，因为AF?面SAB，所以AF⊥BC，
因为SB∩BC=B，
所以AF⊥平面SBC，
因为AF∥DE，DE⊥平面SBC，DE?平面SDC，所以平面SBC⊥平面SDC．…（6分）
（2）如图所示建立空间直角坐标系，D（0，$\frac{1}{2}$，0），C（-1，1，0），B（-1，0，0），S（0，0，1），$\overrightarrow{SB}$=（-1，0，-1）
令$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面SCD的一个法向量，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}y-z=0}\\{-x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）
设直线SB与平面SDC所成角为θ，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．