Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据同角的三角函数关系，求出sinα、cosα的值，再计算f（α）的值；
（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期和单调减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，且sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（α）=$\sqrt{2}$cosα（sinα+cosα）
=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=$\sqrt{2}$；…（4分）
（Ⅱ）函数f（x）=$\sqrt{2}$cosx（sinx+cosx）
=$\sqrt{2}$（cosxsinx+cos²x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（8分）
∴f（x）的最小正周期为π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的求值与三角恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．