Question

17．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）若f（1）＞0，解不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0；
（Ⅱ）若f（1）=$\frac{3}{2}$，求g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）在[1，+∞）上的最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，求得k=1，再由指数函数的单调性，可得f（x）为R上的增函数，不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0可化为x²+2x＞4-x，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由f（1）=$\frac{3}{2}$，解得a=2，可得g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x），令t=h（x）=2^x-2^-x，（x≥1），求得t的范围，可得g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，由二次函数的最值求法，可得最小值及对应的x值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，
即有k-1=0，解得k=1．
即f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0即为a-a^-1＞0，解得a＞1．
由y=a^x递增，y=a^-x递减，可得f（x）为R上的增函数，
不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0即为
f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
即有x²+2x＞4-x，解得x＞1或x＜-4，
则解集为（-∞，-4）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）由f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，解得a=2（-$\frac{1}{2}$舍去），
即有g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x），
令t=h（x）=2^x-2^-x，（x≥1），由h（x）在[1，+∞）递增，
可得t=h（x）≥h（1）=$\frac{3}{2}$，即有g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
当t=2时，g（t）取得最小值-2，
即有x=log₂（1+$\sqrt{2}$），g（x）取得最小值-2．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查指数函数的单调性以及二次函数的最值的求法，属于中档题．