Question

已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=ln（x+1）
（Ⅰ）实数a为何值时，函数g（x）在x=0处的切线与函数f（x）的图象也相切；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有不等式f（x）+g（x）≤x+1成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N，试判断g（n）与g′（0）+g′（1）+g′（2）+…+g′（n+1）的大小，并证明之．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出g（x）的导数，求得切点斜率和切点，得到切线方程，联立f（x），消去y，运用判别式为0，即可解得a；
（Ⅱ）不等式f（x）+g（x）≤x+1成立，即为ax²+ln（1+x）-x≤0在x≥0时恒成立，令h（x）=ax²+ln（1+x）-x，求出h（x）的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时判断单调性，进而得到a的范围；
（Ⅲ）g（n）＜g′（0）+g′（1）+g′（2）+…+g′（n+1）．令l（x）=g（x）-x=ln（1+x）-x，（x＞0），求出导数判断在x＞0的单调性，再令x=

1

k

，k=1，2，3，…，n．并累加，运用对数的运算性质，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=ln（x+1）的导数为g′（x）=

1

1+x

，
则函数g（x）在x=0处的切线斜率为1，
又切点为（0，0），
即有切线方程为y=x，
联立y=ax²+1，消去y，得ax²-x+1=0，
a=0时，y=f（x）=1，显然不相切．
即有a≠0，△=0，即1-4a=0，解得a=

1

4

，
则有a=

1

4

时，函数g（x）在x=0处的切线与函数f（x）的图象也相切；
（Ⅱ）不等式f（x）+g（x）≤x+1成立，即为
ax²+ln（1+x）-x≤0在x≥0时恒成立，
令h（x）=ax²+ln（1+x）-x，h′（x）=2ax+

1

1+x

-1=

2ax2+(2a-1)x-1

1+x

=2ax-1，
当a≤0，x≥0时，h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）递减，
即有h（x）≤h（0），即为ax²+ln（1+x）-x≤0成立；
当a＞0时，x＞

1

2a

时，h′（x）＞0，h（x）递增，
0＜x＜

1

2a

时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=

1

2a

，h（x）取得极小值，也为最小值，
则ax²+ln（1+x）-x≤0在x≥0时不恒成立．
综上可得，a的取值范围是（-∞，0]；
（Ⅲ）g（n）＜g′（0）+g′（1）+g′（2）+…+g′（n+1）．
理由如下：令l（x）=g（x）-x=ln（1+x）-x，（x＞0），
l′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，由x＞0，则l′（x）＜0，l（x）递减，
l（x）＜l（0）=0，
即有ln（1+x）＜x，
令x=

1

k

，k=1，2，3，…，n．并累加可得，
ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即有ln（2•

3

2

•

4

3

•…•

n+1

n

）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
由

1

n+1

+

1

n+2

＞0，
即有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

＞ln（n+1）．
故g（n）＜g′（0）+g′（1）+g′（2）+…+g′（n+1）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，主要考查单调性的运用：求最值和证明不等式，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．