题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．（1）求证：AE⊥平面BCF；
（2）求点F到平面ABE的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）建立坐标系，利用向量法证明AE⊥平面BCF；
（2）由题意，F到A1C1的距离即为所求．
（2）由题意，F到A1C1的距离即为所求．
解答：
（1）证明：建立以C1为坐标原点的空间坐标系如图，
∵AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2，0，0），C（0，0，2）
则
=（0，-2，-1），
=（-2，0，0），
=（1，1，-2），
则
•
=0，
•
=-2+2=0，
则
⊥
，
⊥
，
即AE⊥BC，AE⊥CF，BC∩CF=C，
∴AE⊥平面BCF；
（2）解：取AB的中点O，连结CO，FO，
∵CB=CA，
∴CO⊥AB
∴平面ABC⊥平面BB1A1A，
∴CO⊥平面ABF，
而CE∥平面BB1A1A，
∴E到平面ABF的距离就是CO的长，CO=
AB=
，
∴S△ABF=
AB•OF=2
，
∴VE-ABF=
?CO?S△ABF=
，
又Rt△ECB和Rt△ECA中，易知EB=EA=
，
又AB=2
，
故EO=
=
，
∴S△ABE=
EO•AB=
设F到平面ABE的距离为d，
由VF-ABE=VE-ABF，得
S△ABEd=
，解得d=
．
（1）证明：建立以C1为坐标原点的空间坐标系如图，∵AC=BC=AA1=2，E，F分别是CC1，A1B1的中点．
∴A（0，2，2），B（2，0，2），E（0，0，1），A1（0，2，0），F（1，1，0），B1（2，0，0），C（0，0，2）
则
| AE |
| BC |
| CF |
则
| AE |
| BC |
| AE |
| CF |
则
| AE |
| BC |
| AE |
| CF |
即AE⊥BC，AE⊥CF，BC∩CF=C，
∴AE⊥平面BCF；
（2）解：取AB的中点O，连结CO，FO，
∵CB=CA，
∴CO⊥AB
∴平面ABC⊥平面BB1A1A，
∴CO⊥平面ABF，
而CE∥平面BB1A1A，
∴E到平面ABF的距离就是CO的长，CO=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
∴S△ABF=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
∴VE-ABF=
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
又Rt△ECB和Rt△ECA中，易知EB=EA=
| 5 |
又AB=2
| 2 |
故EO=
| EB2-OB2 |
| 3 |
∴S△ABE=
| 1 |
| 2 |
| 6 |
设F到平面ABE的距离为d，
由VF-ABE=VE-ABF，得
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，考查F到平面ABE的距离，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
当a1，a2，…，a25是0或2时，形如x=
+
+…+
的一切数x，可满足（ ）
| a1 |
| 3 |
| a2 |
| 32 |
| a25 |
| 325 |
A、0≤x＜
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、0≤x＜
|
如图，在平行四边形ABCD中，M为CD中点，若
=λ
+μ
．则μ的值为（ ）
| AC |
| AM |
| AB |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |
如图，在四面体ABCD中，若M、N分别是棱AD、BC的中点，AC=BD=6，MN=3直线ax+
y+
-
a=0与圆x2+y2=4的位置关系为（ ）
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| A、相交 | B、相离 | C、相切 | D、不确定 |
已知实数x，y满足
，则z=（
）x•（
）y的最小值为（ ）
|
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
A、
| ||
| B、1 | ||
C、
| ||
D、
|