Question

已知二次函数f（x）=x²+2x-1，若奇函数h（x）的定义域和值域都是区间（-k，k），且x∈（-k，0）时，h（x）=-f（x）-1，求k的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题设条件，根据奇函数的性质求出h（x）在[-k，k]上的解析式，再根据其定义域和值域都是区间[-k，k]，即可得到关于k的等式求出k的值．

解答： 解：由于f（x）=x²+2x-1，
且奇函数h（x）在x∈（-k，0）时，h（x）=-f（x）-1=-x²-2x，
则当x∈[0，k]时，h（x）=-h（-x）=x²-2x，
则有h（x）=

-x2-2x，-k≤x≤0 x2-2x，0＜x≤k

，
由x²-2x=x，可得x=3，
由-x²-2x=x，可得x=-3，
由图象可得x∈[-1，1]时，h（x）∈[-1，1]
当x∈[-3，3]时，h（x）∈[-3，3]
则有k=1或k=3．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的解析式的求法，考查二次函数的值域问题，属于中档题和易错题．