Question

若a₁=1，3S_n=（n+2）a_n，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推公式，建立方程组，利用累积法即可得到结论．

解答： 解：当n≥2时，由3S_n=（n+2）a_n，
得3S_n-1=（n+1）a_n-1，
两式作差得3S_n-3S_n-1=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，
即

an

an-1

=

n-1

n+1

，
则

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

…

an

an-1

=

n-1

n+1

，
等式两边同时相乘得

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×

3

5

…×

n-1

n+1

，
即

an

a1

=

1×2

n(n+1)

，
即a_n=

2

n(n+1)

，
当n=1时，a₁=1满足a_n=

2

n(n+1)

，
∴数列的通项公式为a_n=

2

n(n+1)

．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，建立方程组利用累积法是解决本题的关键．