Question

20．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-y-1≤0}\\{2x+y-5≤0}\end{array}\right.$，关于目标函数z=|x-y|+|x-2y-2|最值的说法正确的是（　　）

• A． 最小值0，最大值9
• B． 最小值2，最大值9
• C． 最小值3，最大值10
• D． 最小值2，最大值10

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，讨论x-2y-2和x-y的符号，取得极大值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
作出x-2y-2=0对应的直线，则由图象知平面区域都在直线x-2y-2=0的左上方，
即x-2y-2＜0，
则z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2），
当x-y≥0，对应的区域在直线x-y=0的下方，即平面区域ABED，
此时z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2）=x-y-x+2y+2=y+2，
即y=z-2，平移直线y=z-2，得当直线经过A（1，0）时，y最小，此时z最小，
即z=2，
当经过E时，y最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即E（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），此时z=$\frac{5}{3}$+2=$\frac{11}{3}$，即此时2≤z≤$\frac{11}{3}$，
当x-y＜0，对应的区域在直线x-y=0的上方，即平面区域CDE，
此时z=|x-y|+|x-2y-2|=|x-y|-（x-2y-2）=-x+y-x+2y+2=-2x+3y+2，
即y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$-$\frac{2}{3}$，平移直线y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$-$\frac{2}{3}$，得当直线经过D时，直线的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即D（1，1），此时z=-2+3+2=3，
当直线经过C时，直线的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），此时z=-2+3×3+2=9，即此时3≤z≤9，
综上2≤z≤9，
即最小值2，最大值9，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分类讨论以及数形结合，利用平移法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．