Question

10．在△ABC中，若b²+c²=2bcsinAtanB+a²，则这个三角形的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 锐角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 不确定

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得cosA=sinA$•\frac{sinB}{cosB}$，利用两角和的余弦函数公式可得cos（A+B）=0，由tanAtanB=1可得A+B∈（0，π），进而求得A+B，利用三角形内角和定理可求C=$\frac{π}{2}$，从而得解三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，根据余弦定理知：b²+c²=2bccosA+a²，
又∵b²+c²=2bcsinAtanB+a²，
∴cosA=sinAtanB=sinA$•\frac{sinB}{cosB}$，①
∴可得cosAcosB-sinAsinB=0，
∴cos（A+B）=0，
∵由①可得：tanAtanB=1，A，B为三角形内角，
∴A，B均为锐角，A+B∈（0，π），
∴A+B=$\frac{π}{2}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．