Question

8．已知曲线C的极坐标方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（5，-2），倾斜角α=$\frac{π}{3}$．
（1）学出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，即ρ²-8ρcosθ+4ρsinθ+4=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l经过点P（5，-2），倾斜角α=$\frac{π}{3}$．可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）直线l的普通方程：y=$\sqrt{3}$x-2-5$\sqrt{3}$．圆C的方程配方为：（x-4）²+（y+2）²=16，可得圆心C（4，-2），半径r=4．求出圆心C到直线l的距离d，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ-8cosθ+4sinθ+$\frac{4}{ρ}$=0，即ρ²-8ρcosθ+4ρsinθ+4=0，
可得直角坐标方程：x²+y²-8x+4y+4=0，
由直线l经过点P（5，-2），倾斜角α=$\frac{π}{3}$．可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）直线l的普通方程：y=$\sqrt{3}$x-2-5$\sqrt{3}$．
x²+y²-8x+4y+4=0，配方为：（x-4）²+（y+2）²=16，可得圆心C（4，-2），半径r=4．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|4\sqrt{3}-2+2-5\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{61}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程、勾股定理与弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．