题目内容
【题目】已知椭圆
：
的焦距为
，且椭圆过点
，直线
与圆
: 
相切，且与椭圆相交于
两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求三角形
面积的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）方法一，由条件可知
，再将点
代入椭圆方程，求得椭圆
的方程，方法二，由条件求得焦点坐标，再根据椭圆的定义，求得
，最后求
，求得椭圆方程；（2）方法一，讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线
与圆相切得到
，并利用根与系数的关系表示弦长，并得到三角形的面积，利用换元法求面积的取值范围，法二，同法一表示三角形的面积，并通过构造换元，利用基本不等式求面积的取值范围.
（1）解法1: ，
椭圆方程
（1）解法2: 由已知得,则焦点坐标为
, 
椭圆方程
（2）解法1 ：(i) 当直线
斜率不存在时，
(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立
得：
，
又
直线与圆
相切，
，即
令
，则
，
令
，则
设
,
,则 
, 在递增，
, 即
；
综上，由(i)和(ii)知，三角形
面积的取值范围为.
解法2：(i)当直线斜率不存在时，
(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 得：
，
又直线与圆相切，,即
令
，则
，
，
综上，由(i)和(ii)知，三角形面积的取值范围为.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 3 | 7 |
由表中的数据显示，
与
之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：
）
【题目】某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
（1）请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图（如图所示）；
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 5 | 0.050 |
第2组 |
| ① | 0.350 |
第3组 |
| 30 | ② |
第4组 |
| 20 | 0.200 |
第5组 |
| 10 | 0.100 |
合计 | 100 | 1.000 |
频率分布直方图
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率．
【题目】对某产品1到6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
月份i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
单价 | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
销售量 | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？
