Question

【题目】已知抛物线：内有一点，过的两条直线，分别与抛物线交于，和，两点，且满足，，已知线段的中点为，直线的斜率为.

（1）求证：点的横坐标为定值；

（2）如果，点的纵坐标小于3，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）设中点为，根据向量的线性运算可知，且，和三点共线，利用点差法可得，，即，可知轴，故为定值（2）由得到，设，，联立直线与抛物线方程可求，写出面积公式即可求最值.

（1）设中点为，则由，可推得，，这说明，且，和三点共线.

对，使用点差法，可得，即.

同理.

于是，即轴，所以为定值.

（2）由得到，设，，联立

得，所以,,

根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为，

于是，令x=,则，

，令得，当时， ,函数为增函数，当时，，函数为减函数，故当，即时，有最大值.