Question

2．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{2x+y≥0}\\{x≤0}\end{array}\right.$，若当x=-1，y=2时，z=ax+y取得最小值，则a的取值范围是a≥2．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，根据条件，讨论目标函数的斜率，建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在O处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
若当x=-1，y=2时，z=ax+y取得最小值，
此时目标函数的斜率-a小于等于OA：2x+y=0的斜率-2，
即-a≤-2，即a≥2，
若a＜0，则目标函数的斜率k=-a＞0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线y=-ax+z，此时目标函数只在O处取得最小值，
不满足条件．
综上a≥2，
故答案为：a≥2

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．