Question

7．已知数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n
（2）设b_n=$\frac{2n（n-1）{a}_{n}}{{3}^{n}}$（n∈N^*），求当b_n取得最大值时正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．可得2（a₃+1）=a₂+a₄，解得a₁，即可得出．
（2）由（1）可得：a_n．b_n=$n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}$，n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{3（n-1）}$，对n分类讨论，即可比较出大小关系．

解答 解：（1）数列{a_n}是公比为2的等比数列，且a₂，a₃+1，a₄成等差数列．
∴2（a₃+1）=a₂+a₄，
∴2（4a₁+1）=2a₁+8a₁，解得a₁=1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=$\frac{2n（n-1）{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}$，
n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{n（n+1）•（\frac{2}{3}）^{n+1}}{n（n-1）•（\frac{2}{3}）^{n}}$=$\frac{2（n+1）}{3（n-1）}$，
b₁=0，b₂=$\frac{8}{9}$，
当2≤n≤4时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＞1；当n=5时，b₆=b₅；
当n≥6时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＜1．
∴当n=5时，b_n取得最大值，b₆=b₅=1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．