Question

11．已知函数f（x）=lnx-2x，g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），若函数h（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）法一：求出函数的导数，问题转化为$a＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；
法二：问题转化为ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
$f'（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$，…（2分）
令f′（x）=0得$x=\frac{1}{2}$，
列表如下：

x	$（0，\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值-ln2-1	↘

由表可知f（x）的极大值为$f（\frac{1}{2}）=-ln2-1$，无极小值；…（4分）
（Ⅱ）解法一：∵函数$h（x）=lnx-2x-\frac{1}{2}a{x^2}（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}$，…（5分）
∵函数f（x）存在单调递减区间，∴h'（x）＜0有解，…（6分）
又∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴$a＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，…（8分）
即$a＞{（{\frac{1-2x}{x^2}}）_{min}}$，
又∵$\frac{1-2x}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}={（{\frac{1}{x}-1}）^2}-1≥-1$，…（10分）
∴$a＞{（{\frac{1-2x}{x^2}}）_{min}}=-1$，∴a的取值范围为（-1，+∞）． …（12分）
解法二：∵函数$h（x）=lnx-2x-\frac{1}{2}a{x^2}（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}$，…（5分）
∵函数f（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解，…（6分）
又∵函数h（x）的定义域为（0，+∞），
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，…（7分）
（1）当a=0时，显然符合题意； …（8分）
（2）当a＞0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上恒有解； …（9分）
（3）当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上恒有解，
则$\left\{\begin{array}{l}△=4+4a＞0\\-\frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0；…（11分）
综上：a的取值范围为（-1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．