Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|关于x的表达式；
（2）求f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再求出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²并化简，根据x的范围，得出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|；
（2）求出f（x）的解析式并化简成二次函数类型，利用二次函数的单调性求出最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos2x，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=2+2cos2x=4cos²x．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx≥0，∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2cosx．
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1=2（cosx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴0≤cosx≤1，
∴当cosx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$；当cosx=0或1时，f（x）取得最大值-1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，-1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积，二次函数的性质，注意x的范围是解题关键，属于中档题．