题目内容
16．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$+x，x∈[3，5]．（1）判断函数f（x）的单调性，并利用单调性定义证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
分析 （1）根据函数单调性定义证明f（x）的单调性；
（2）根据函数的增减性来求特定区间上的最值问题；
解答 解：（1）证明：设任意变量x1，x2且3＜x1＜x2＜5
f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{x_1}+{x_1}-\frac{1}{x_2}-{x_2}$
=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+{x}_{1}-{x}_{2}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵3＜x1＜x2＜5
∴x1x2＞0，x2-x1＞0，1-x1x2＜0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）为x∈[3，5]增函数．
（2）由（1）知函数f（x）为x∈[3，5]增函数；
∴$f{（x）_{max}}=\frac{26}{5}，f{（x）_{min}}=\frac{10}{3}$
点评 本题主要考查了函数单调性的定义，以及函数特定区间上的最值问题，属基础题．
练习册系列答案
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6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=5，那么2${\;}^{{a}_{1}}$+2${\;}^{{a}_{5}}$的最小值为（ ）
| A． | 4 | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{2}$ |
7．点（1，1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ |
11．若C252x=C25x+4，则x的值为（ ）
| A． | 4 | B． | 7 | C． | 4或7 | D． | 不存在 |
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| A． | $\frac{（4e-1）\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{（4e+1）\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
8．设函数f（x）=1-$\sqrt{x+1}$，g（x）=ln（ax2-3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（ ）
| A． | 2 | B． | $\frac{9}{4}$ | C． | 4 | D． | $\frac{9}{2}$ |
5．已知函数f（x）=4x2+kx-1在区间[1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，-16]∪[-8，+∞） | B． | [-16，-8] | C． | （-∞，-8）∪[-4，+∞） | D． | [-8，-4] |
4．若复数$\frac{a+i}{1-i}$是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（ ）
| A． | -1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | 2 |