Question

某企业生产某种商品x吨，此时所需生产费用为（x²-100x+10000）万元，当出售这种商品时，每吨价格为p万元，这里p=ax+b（a，b为常数，x＞0）
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：

分析：（1）表示出商品的生产平均费用，利用基本不等式可求最值；
（2）设出售x吨时，利润是y元，根据售价-进价=利润列出关系式，利用二次函数与一次函数的性质列出关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值．

解答： 解：（1）商品的生产费用平均为

x2-100x+10000

x

=x+

10000

x

-100≥2

x• 10000 x

-100=100
当且仅当x=100时，取等号，
∴当产量x=100吨时，生产费用平均最低；
（2）设出售x吨时，利润是y元，
则根据题意有：y=（ax+b）x-（x²-100x+10000）
=（a-1）x²+（b+100）x-10000
=（a-1）[x+

b+100

2(a-1)

]²-（a-1）[

b+100

2(a-1)

]²-10000，
∵x=120时利润最大，
∴a-1＜0，即a＜1，-

b+100

2(a-1)

=120，①
又160=120a+b，②
联立①②，解得：a=-

1

6

，b=180．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．