Question

已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（1）证明: 为定值;
（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(3)证明直线PQ恒过一个定点.

Answer 1

（1）见解析； (2)  ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.

解析试题分析：（1）设点根据、M、A三点共线，
得 计算得到=5；
(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."
根据角的范围，即得所求.
(3)设点、B、Q三点共线，
据此确定进一步确定的方程，化简为
得出结论.
试题解析：（1）设点、M、A三点共线，

        2分
                 5分
(2)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.       8分
又        10分
(3)设点、B、Q三点共线，


即              12分


即        13分
由（*）式，代入上式，得
由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.                14分
考点：抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.