Question

设函数f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a＞0，b＞0，x∈R）．
（1）当a=b=2时，证明：函数f（x） 不是奇函数；
（2）设函数f（x） 是奇函数，求a与b的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）①当a=b=2时，计算 f（1）与f（-1），如果不相等，可得f（x）不是奇函数．
（2）当f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），化简整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），这是关于x的恒等式，由此求得a、b的值．

解答： 解：（1）①当a=b=2时，f（x）=）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+2

2x+1+2

，∵f（1）=

-2+2

4+2

=0，
f（-1）=

-2-1+2

-20+2

=

3

2

，f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函数．
（2）当f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对任意实数x成立．
化简整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），这是关于x的恒等式，
所以，

2a-b=0 2ab-4=0

，所以

a=-1 b=-2

，或

a=1 b=2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，属于中档题．