Question

【题目】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点．

（1）求证：PE⊥平面ABCD；

（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明PE⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，即可证明：PE⊥平面ABCD；

（2）平面EFG将四棱锥P﹣ABCD分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．

证明：在等腰△APB中，得，

则由余弦定理可得，，∴，

∴PE2+BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴PE⊥平面ABCD．

（2）解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，因为GF∥AD，所以GF∥平面ABCD，从而可得EN∥AD．

延长FG至点M，使GM＝GF，连接DM，MN，则AFE﹣DMN为直三棱柱，

∵F到AE的距离为，，

∴，

∴，，

∴，

又，

∴．