Question

1．函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{16}{x}^{2}（0≤x≤2）}\\{（\frac{1}{2}）^{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{4}$，0）
• B． （$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{4}$）∪（$-\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 做出f（x）的函数图象，令f（x）=t，根据图象得出方程f（x）=t的解的情况，得出t的范围，从而得出a的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=t，显然，当t=0时，方程f（x）=t只有一解x=0，
当0＜t＜$\frac{1}{4}$时，方程f（x）=t有四个解，
当t=$\frac{1}{4}$时，方程f（x）=t有两解，
当t＜0或t＞$\frac{1}{4}$时，方程f（x）=t无解．
∵关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，
∴关于t的方程t²+at+b=0，t∈R有两解，且一解为t₁=0，另一解t₂∈（0，$\frac{1}{4}$），
∴b=0，
∵t²+at=0的两解分别为t₁=0，t₂=-a，
∴0$＜-a＜\frac{1}{4}$，解得-$\frac{1}{4}$＜a＜0．
故选A．

点评 本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．