Question

如图，已知、、为不在同一直线上的三点，且，.

（1）求证：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求证：平面；
（3）在（2）的条件下，设点为上的动点，求当取得最小值时的长.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）通过证明平行四边形分别证明和，利用直线与平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面与平面平行的判定定理证明平面平面；（2）先证明平面，于是得到，由再由四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）将三棱柱
的侧面沿着展开，利用、、三点共线求出的最小值，并利用相似三角形求出的长度.
试题解析：（1）证明：且，四边形是平行四边形，，
面，面平面，
同理可得平面，又，平面平面；
（2）平面，平面，平面平面，
平面平面，
，，，，，平面，
，，，
又，得为正方形，，
又，平面；
（3）将三棱柱的侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内如下图示，连结交于点，则由平面几何的知识知，这时取得最小值，
，.