Question

如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（1）求证：；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）连接,要证,只需证明面,只需证明, 由已知面面垂直，易证,所以,面,得到,因为,易证,所以面,得,得证面，即证 ；（2）设由（1）法一：知，为等边三角形，设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，
所以为二面角的平面角，然后用余弦定理计算.法二：如图建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，利用公式,根据实际图形为钝二面角.
试题解析：如图：

（1）证明：连结，因，是的中点，
故．
又因平面平面，
故平面，            2分
于是．
又，
所以平面，
所以，                 4分
又因，
故平面，
所以．                 6分
（2）解法一：由（I），得．不妨设，．          7分
因为直线与平面所成的角，
故，
所以，为等边三角形．                        9分
设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．
取的中点，连结，，则，，
所以为二面角的平面角．                     12分
在中，，，                      13分
故，
即二面角的余弦值为．                            14分
解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，   8分
从而，.
设平面的法向量为，
由，得，
可取．            10分
同理，可取平面的一个法向量为  
．                 12分
于是，   13分
易见二面角的平面角与互补，
所以二面角的余弦值为．                        14分