Question

如图，在三棱柱中，平面，，， ，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）根据题意可根据中点证平行四边形得线线平行，再根据线面平行的性质定理得线面平行。（Ⅱ）由已知条件易得平面．由（Ⅰ）知∥，即平面。根据面面垂直的判定定理可得平面平面。（Ⅲ）法一普通方法：可用等体积法求点到面的距离，再用线面角的定义找到线面角后求其正弦值。此法涉及到大量的计算，过程较繁琐；法二空间向量法：建立空间直角坐标系后先求面的法向量。与法向量所成角余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值。
试题解析：证明：（Ⅰ）
取的中点，连结，交于点，可知为中点，

连结，易知四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面．           4分
证明：（Ⅱ）因为，且是的中点，
所以．
因为平面，所以．
所以平面．
又∥，所以平面．
又平面，
所以平面平面．          ９分
解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，
则，, ，．
，，．
设平面的法向量为.
则
所以
令.则.
设向量与的夹角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.             14分