Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若不等式${x^2}-\sqrt{6}x+1＜0$的解集是{x|a＜x＜c}，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由bcosC=（2a-c）cosB，得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，从而sinA=2sinAcosB，进而$cosB=\frac{1}{2}$，由此能求出B．
（2）依题意a、c是方程${x^2}-\sqrt{6}x+1=0$的两根，从而$a+c=\sqrt{6}$，ac=1，由余弦定理得$b=\sqrt{3}$，由此能求出△ABC的周长．

解答 解：（1）∵在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB，
∴由bcosC=（2a-c）cosB，得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB…（1分）
即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB…（2分）
即sinA=2sinAcosB，∴$cosB=\frac{1}{2}$，…（3分）
又B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$…（4分）
（2）依题意a、c是方程${x^2}-\sqrt{6}x+1=0$的两根，
∴$a+c=\sqrt{6}$，ac=1…（5分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=6-3=3，
∴$b=\sqrt{3}$，…（7分）
∴△ABC的周长为$\sqrt{6}+\sqrt{3}$．           …（8分）

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角形的周长的求法，考查正弦函数加法定理、同角三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．