Question

15．（1）若f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上是减函数，求b的取值范围；
（2）已知函数f（x）=x³-ax²+x，a∈R．若函数f（x）在区间（1，2]内存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）已知函数f（x）=x³-ax²-a²x+3（a＜0），若函数f（x）在区间（-2，-1）内是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数在（-1，+∞）上是减函数，得f′（x）≤0，求导后分离参数b得答案；
（2）由题意可得，f′（x）=3x²-2ax+1＞0在（1，2]上有解，利用分离参数法求得答案；
（3）求出原函数的导函数，导函数的对称轴在y轴左边，要使函数f（x）在区间（-2，-1）内是增函数，则需要导函数对应方程的小根大于等于-1，由此得答案．

解答 解：（1）由题意可知f′（x）=-x+$\frac{b}{x+2}$≤0在x∈（-1，+∞）上恒成立，
即b≤x（x+2）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
令f（x）=x（x+2）=x²+2x，x∈（-1，+∞），∴f（x）＞-1，
∴要使b≤x（x+2），需b≤-1，
故b的取值范围为（-∞，-1]；
（2）f′（x）=3x²-2ax+1，
已知函数在区间（1，2]上存在单调递增区间，
得f′（x）=3x²-2ax+1＞0在（1，2]上有解，
有2ax＜3x²+1，即a＜$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}$在（1，2]上有解，
而$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2}（x+\frac{1}{3x}）$在（1，2]上的最大值为$\frac{13}{4}$，
故a的取值范围是（-∞，$\frac{13}{4}$）；
（3）f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
对称轴方程为x=$\frac{a}{3}＜0$，要使函数f（x）在区间（-2，-1）内是增函数，
则a≥-1，∴-1≤a＜0．
故a的取值范围为[-1，0）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了“三个二次”在解题中的应用，是中档题．