Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\sqrt{2}$，则双曲线的两渐近线的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的方程，求出渐近线方程，利用双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，可得渐近线的斜率k=±1，即可得到双曲线两条渐近线的夹角．

解答 解：双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a^2}=2$，∴a²+b²=2a²，得a²=b²，
则两渐近线方程$y=±\frac{b}{a}x=±x$，渐近线的斜率k=±1，故两渐近线夹角为$\frac{π}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．