Question

20．下列说法：
①y=tanx在其定义域内为增函数；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$的最小正周期为π．
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为钝角，则λ的取值范围是$（{-∞，\frac{6}{5}}）$；
④函数y=a+2•2^x+4^x在x∈（-∞，1]上y＜0恒成立，则a＜-8．
其中正确的是④．（写出所有正确答案）

Answer 1

分析 由正切函数的性质判断①；写出分段函数判断②；举例说明③错误；利用分离参数法求出a的范围判断④．

解答 解：①y=tanx在其定义域内不是增函数，但由无数多个增区间，故①错误；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{6}），x≥-\frac{π}{12}}\\{-sin（2x+\frac{π}{6}），x＜-\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，该函数不是周期函数，故②错误；
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，$λ=-\frac{10}{3}$∈$（{-∞，\frac{6}{5}}）$，此时$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线反向，故③错误；
④由y＜0恒成立，得a+2•2^x+4^x＜0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a＜-2^2x-2•2^x在x∈（-∞，1]上恒成立．
由x∈（-∞，1]，得0＜2^x≤2，∴-2^2x-2•2^x∈[-8，0），则a＜-8，故④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，考查向量共线的条件，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，是中档题．