题目内容
已知椭圆
+
=1上任意一点P，A1，A2是椭圆的左、右顶点，设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2= ，现类比上述求解方法，可以得出以下命题：已知双曲线
-
=1上任意一点P，A1，A2是双曲线的左、右顶点，设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2= ．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：类比推理
专题：推理和证明
分析：（1）先求出椭圆
+
=1的左、右顶点分别为A1，A2，设P（x0，y0），再求出直线PA1的斜率为k PA1，直线PA2的斜率为k PA2，由此列出k PA1•k PA2的式子，根据等价转化思想求出k1•k2的值即可；
（2）类比上述求解方法，在双曲线
-
=1上，设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2=-
=
，据此解答即可．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（2）类比上述求解方法，在双曲线
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| -b2 |
| a2 |
| b2 |
| a2 |
解答：
解：（1）椭圆
+
=1的左、右顶点分别为A1，（-3，0），A2，（3，0），
设P（x0，y0），
则k PA1•k PA2=
•
=
，
∵P（x0，y0）在椭圆上，
∴
+
=1
∴y02=
（9-x02）
∴k PA1•k PA2=
•
=
=
•
=-
（2）类比上述求解方法，在双曲线
-
=1上，
设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，
则k PA1•k PA2=-
=
．
故答案为：-
、
．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
设P（x0，y0），
则k PA1•k PA2=
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
| y02 |
| x02-9 |
∵P（x0，y0）在椭圆上，
∴
| x02 |
| 9 |
| y02 |
| 5 |
∴y02=
| 5 |
| 9 |
∴k PA1•k PA2=
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
| y02 |
| x02-9 |
| 5 |
| 9 |
| 9-x02 |
| x02-9 |
| 5 |
| 9 |
（2）类比上述求解方法，在双曲线
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
设直线PA1，PA2斜率分别为k PA1，k PA2，
则k PA1•k PA2=-
| -b2 |
| a2 |
| b2 |
| a2 |
故答案为：-
| 5 |
| 9 |
| b2 |
| a2 |
点评：本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．
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