Question

在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.
（1）求：的正交点列；
（2）判断：是否存在正交点列？并说明理由；
（3）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论.

Answer 1

（1），（2）不存在，（3）存在.

试题分析：（1）因为与的起点和终点分别相同，所以，只需求.由及，可解得本题实质考查对新定义的理解.关键逐条代入验证.（2）与（1）相似，从求角度出发，能求出来就存在，否则就不存在.首先有求时，不是设四个未知数，二是利用向量垂直关系，设三个未知数，即，因为相同，所以有因为，所以方程组显然不成立，即不存在.
（3）按照（1）的思路，要保证方程组无解，须使得整数尽量取，①当为偶数时，取.②当为奇数时，取,,就可满足题意.
试题解析：解：
（1）设点列的正交点列是,
由正交点列的定义可知,设，
，，
由正交点列的定义可知,,
即解得
所以点列的正交点列是.   3分
（2）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设,
因为相同，所以有

因为，方程（2）显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列；       8分
（3），都存在整点列无正交点列.           9分
，设其中是一对互质整数，
若有序整点列是点列正交点列,
则，
则有
①当为偶数时，取.
由于是整点列，所以有，.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列；
②当为奇数时，
取,,
由于是整点列，所以有，.
等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列.
综上所述，，都不存在无正交点列的有序整数点列     13分