Question

对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sin θ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图所示，在平行六面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，则(×)·＝(  )

A．4

B．8

C．2

D．4

Answer 1

D

根据向量积定义知，向量×垂直平面ABCD，且方向向上，设×与所成角为θ.因为∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，所以点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．
作EI⊥AC于I，则EI⊥平面ABCD，所以θ＋∠EAI＝.过I作IJ⊥AD于J，连接EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD.因为AE＝2，∠EAD＝60°，所以AJ＝1，EJ＝.又∠CAD＝30°，IJ⊥AD，所以AI＝.因为AE＝2，EI⊥AC，所以cos EAI＝＝，
所以sin θ＝sin＝cos EAI＝，cos θ＝.
故(×)·＝||||sin BAD||.
cos θ＝8××＝4，故选D.