Question

【题目】设曲线（a为正常数）与在x轴上方仅有一个公共点P.

（1）求实数m的取值范围（用a表示）；

（2）O为原点，若与x轴的负半轴交于点A，当时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）.

Answer 1

【答案】（1）当时，或；当时，.（2）

【解析】

（1）由消去y，得①

设，问题（1）转化为方程①在上有惟一解或等根.

只须讨论以下三种情况：

1°△=0得.此时，当且仅当，即时适合；

2°当且仅当；

3°得，此时，当且仅当，即时适合.

得，此时.由于，从而.

综上可知，当时，或；

当时，.

（2）△OAP的面积.

因，故当时，.

由惟一性得

显然，当时，取值最小.

由于，从而取值最大，此时，故.

当时，，，此时.

下面比较与大大小.

令，得.

故当时，有

此时，.

当时，有

此时，