题目内容
【题目】将边长为正整数m、n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.
【答案】
【解析】
记所求最小值为,可以证明
.(*)
事实上,不妨设.
(1)对m归纳,可证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为.
当m=1,时,命题显然成立.
假设当时,结论成立
.当
时,若
,则命题显然成立,若
,从矩形ABCD中切去正方形
(如图).由归纳假设,矩形
有一种分法使得所得正方形边长之和恰为
.
于是,原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为.
(2)对m归纳可以证明(*)成立.
当m=1时,由于n=1,显然.
假设当时,对任意
,有
.
若,当
时,显然
当时,设矩形ABCD按要求分成了p个正方形,其边长分别为
.不妨设
.
显然,或
.
若,则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界),于是
不少于AB与CD之和.
故.
若,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为
的正方形,由归纳假设
.
从而,
于是,当m=k+1时,
再由(1)可知,.
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