Question

17．设函数f（x）=x²-2ax+2（x∈[-1，1]）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 求出函数图象的对称轴为直线x=a，以及开口方向．通过①当a＜-1，②当-1≤a≤1，③当a＞1时，分别求解函数的最小值，然后推出结果．

解答 解：f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，x∈[-1，1]．
所以，其图象的对称轴为直线x=a，且图象开口向上．
①当a＜-1，f（x）在[-1，1]上是增函数，所以g（a）=f（-1）=3+2a；
②当-1≤a≤1，函数f（x）在顶点处取得最小值，即g（a）=f（a）=2-a²；
③当a＞1时，f（x）在[-1，1]上是减函数，所以g（a）=f（1）=3-2a．
综上可知g（a）=$\left\{\begin{array}{l}3+2a，a＜-1\\ 2-{a^2}，-1≤a≤1\\ 3-2a，a＞1\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．