Question

已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），则称x₀是f（x）的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（　　）
①f（x）=x²，
②f（x）=e^-x，
③f（x）=lnx，
④f（x）=tanx，
⑤f（x）=x+

1

x

．

• A、①③⑤
• B、③④
• C、②③④
• D、②⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的概念及应用

分析：根据“巧值点”的定义，对①②③④⑤五个命题逐一判断即可得到答案．

解答： 解：①中的函数f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=

1

x

，
由函数f（x）=lnx与y=

1

x

的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则tanx=

1

cos2x

，
即sinxcosx=1，sin2x=2，显然无解，原函数没有巧值点；
对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+

1

x

=1-

1

x2

，
即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故有“巧值点”的函数为①③⑤，
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查导数的应用，突出等价转化思想与数形结合思想的考查，属于中档题．