Question

若不等式ax²+2x+c＞0和（2x-1）（3x+1）＜0有相同的解集，则不等式2x-cx²-a＞0的解集是（　　）

• A、（-2，3）
• B、（3，+∞）∪（-∞，-2）
• C、（

  1

  3

  ，+∞）∪（-∞，-

  1

  2

  ）
• D、（-

  1

  2

  ，

  1

  3

  ）

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由（2x-1）（3x+1）＜0解得-

1

3

＜x＜

1

2

．由于不等式ax²+2x+c＞0和（2x-1）（3x+1）＜0有相同的解集，可得不等式ax²+2x+c＞0的解集为{x|-

1

3

＜x＜

1

2

}，于是-

1

3

，

1

2

是方程ax²+2x+c=0的实数根，且a＜0，利用根与系数的关系和一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：由（2x-1）（3x+1）＜0解得-

1

3

＜x＜

1

2

．
∵不等式ax²+2x+c＞0和（2x-1）（3x+1）＜0有相同的解集，
∴不等式ax²+2x+c＞0的解集为{x|-

1

3

＜x＜

1

2

}，
∴-

1

3

，

1

2

是方程ax²+2x+c=0的实数根，且a＜0，
∴

- 1 3 + 1 2 =- 2 a - 1 3 × 1 2 = c a

，解得a=-12，c=2．
∴不等式2x-cx²-a＞0化为2x-2x²+12＞0，即x²-x-6＜0．
解得-2＜x＜3．
∴不等式2x-cx²-a＞0的解集是（-2，3）．
故选：A．

点评：本题考查了“三个二次”之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．