Question

如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点

（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求三棱锥的体积的体积．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.

试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线面平行、线面垂直和几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据题意作出辅助线，在中，利用中位线的性质得，再由线面平行的判定，得证；第二问，由已知条件可以判断四边形是正方形，所以对角线互相垂直，所以，又由于第一问得，所以，再由已知证即可，由已知边长，得，所以，所以为等腰三角形，而为中点，所以为高，得证，再利用线面垂直的判定即可得证；第三问，利用等体积法将三棱锥进行转化，找到已知条件求体积.
试题解析：（1）证明：连结，显然过点
∵分别是的中点,    ∴，
又平面，平面，∴平面，
（2）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，，
∴四边形是正方形，∴，
由（1）知，∴，
连结，由，知，
∴，又易知是的中点，∴，
∴平面.
（3）因为，所以三棱锥与三棱锥的体积相等，
故.