Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都相等，M、E分别是和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.

(1)求证：BB₁∥平面EFM；
(2)求四面体的体积.

Answer 1

（1）见解析；（2）．

试题分析：（1）要证线面平行，一般是在平面内找（证）一条直线与待证直线平行，然后由线面平行的判定定理可得结论，本题中平行线很容易找到，因为都是相应线段上的中点，因此显然有∥．（2）三棱锥的体积公式是，由于三梭锥的四个面都是三角形，故我们可以恰当地选取底面，以使得高易求（即熟知的换底法），本题中三梭锥，我们就可以以为底，而这时高就是，而高的垂直的证明可由正三梭锥的定义证得.
试题解析：(1)证明：连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB₁的中点，
∴BB₁∥ME，                                   3分
又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM.              6分
（2）正三棱柱中，由（1），所以，             8分
根据条件得出，所以，10分
又，因此.  12分