Question

如图，四棱锥中，底面是菱形，，，,,,是的中点，上的点满足．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer 1

（I）详见解析；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）是菱形，，这是由两个正三角形构成的菱形，又是的中点，.又，．由此可得 平面．（Ⅱ）是由正三角形构成的菱形，又是的中点，所以，所以.另外根据所给长度，用勾股定理可得，又，，平面.又，所以点F到平面BEC的距离等于，这样由棱锥的体积公式可得的体积.
试题解析：（Ⅰ）证明： ，是的中点，
．                （2分）
，，，
是正三角形，          （3分）
．                （4分）
又，
平面．         （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题设知：在中，，
，，
．                             （6分）
,，满足，
．                                           （7分）
又，，
平面．                                    （8分）
过作于，则，平面，
，．                     （10分）
．         （12分）