Question

在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，若S_2n+1-S_n≤

m

15

，?n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数列的通项公式求出数列{

1

an

}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，可其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．

解答： 解：∵在等差数列{a_n}中a₂=5，a₆=21，
∴公差d=

a6-a2

6-2

=4
∴a_n=5+4（n-2）=4n-3，∴

1

an

=

1

4n-3

，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

∴只需

14

45

≤

m

15

，变形可得m≥

14

3

，
又∵m是正整数，∴m的最小值为5．
故选：C．

点评：本题考查数列与不等式的结合，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列并求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．