Question

19．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{5}）$
• B． （$\frac{1}{5}，\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{5}，\frac{1}{3}$）
• D． [l，3]

Answer 1

分析 根据已知条件便可画出f（x）在区间[-1，3]上的图象，而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）图象和函数y=kx+2k的个数，而k便是函数y=kx+2k在y轴上的截距，所以结合图形，讨论k＞0，k＜0，k=0的情况，并求出对应的k的取值范围即可．

解答 解：根据已知条件知函数f（x）为周期为2的周期函数；
且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|；
而函数g（x）的零点个数便是函数f（x）和函数y=kx+2k的交点个数；
∴（1）若k＞0，则如图所示：

当y=kx+2k经过点（1，1）时，k=$\frac{1}{3}$；
当经过点（3，1）时，k=$\frac{1}{5}$；
∴$\frac{1}{5}$＜k＜$\frac{1}{3}$；
（2）若k＜0，即函数y=kx+k在y轴上的截距小于0，显然此时该直线与f（x）的图象不可能有三个交点；
即这种情况不存在；
（3）若k=0，得到直线y=0，显然与f（x）图象只有两个交点；
综上得实数k的取值范围是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）；
故选：C．

点评 考查周期函数的概念，偶函数图象的特点，直线在y轴上截距的概念，以及函数零点的概念，函数零点和对应函数交点的关系，以及数形结合解题的方法．