Question

已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

，且当

m

x

=

n

y

时等号成立，利用此结论，可求函数f（x）=

4

3x

+

3

1-x

，x∈（0，1）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式

分析：f（x）转化为f（x）═

22

3x

+

32

3-3x

，利用所告诉的结论，得出f（x）≥

25

3

，问题得以解决

解答： 解：∵m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有

m2

x

+

n2

y

≥

(m+n)2

x+y

，且当

m

x

=

n

y

时等号成立，
∴f（x）=

4

3x

+

3

1-x

=

4

3x

+

32

3-3x

=

22

3x

+

32

3-3x

≥

(2+3)2

3x+3-3x

=

25

3

，当且仅当

2

3x

=

3

3-3x

时等号成立，即当x=

2

5

∈（0，1）时取等号，
∴函数f（x）的最小值为：

25

3

故答案为：

25

3

点评：本题考查了新知识的应用，转化为同形式是关键，属于基础题